Clase 23 (5/11)

Felipe Olmos 5 Nov 201005/11/10 a las 20:03 hrs.2010-11-05 20:03:05

Hoy empezamos a ver sistemas de primer orden no lineales. Definimos lo que era un punto crítico y empezamos a analizarlos cualitativamente (via diagramas de fase) en el caso de los sistemas lineales, los cuales posteriormente nos servirán para analizar el caso no lineal.
Si la matriz asociada al sistema (llamémosla A) es invertible entonces hay un uníco punto crítico: (0,0), de lo contrario los puntos críticos pueden ser una recta o el plano completo (casos degenerados).
Recordemos que el polinomio característico de un sistema de dos por dos está dado por:
p(\lambda) = \lambda^2 - tr(A)\lambda + det(A)
Luego los valores propios estan dados por la fórmula
\lambda = \frac{tr(A) \pm \sqrt{tr(A)^2 - 4det(A)}}{2}
Los casos que vimos en la clase son cuando los valores propios de la matriz A asociada al sistema lineal en cuestión:
- Son reales distintos (tr(A)^2/4 > det(A)) y negativos (tr(A) < 0, det(A) > 0) : (0,0) es un nodo asintóticamente estable
- Son reales distintos (tr(A)^2/4 > det(A)) y positivos (tr(A) > 0, det(A) > 0): (0,0) es un nodo inestable
- Son iguales (tr(A)^2/4 = det(A)) y negativos (tr(A) < 0, det(A) > 0): (0,0) es un nodo asintóticamente estable (las trayectorias son rectas)
- Son iguales (tr(A)^2/4 > det(A)) y positivos (tr(A) > 0, det(A) > 0): (0,0) es un nodo asintóticamente inestable (las trayectorias son rectas)

La próxima clase veremos el resto de los casos.

Les reposteo el link con el applet que dibuja diagramas de fase
www.math.rutgers.edu/ ... rod/phase-local.html

Clase 22 (4/11)

Felipe Olmos 5 Nov 201005/11/10 a las 19:48 hrs.2010-11-05 19:48:05

Vimos (finalmente!) la demostración del teorema de existencia y unicidad para sistemas de primer orden.
Para ello tuvimos que ocupar el importante teorema del punto fijo de Banach, y de los requerimientos de este resultado se explica el requerimiento de que la función que define la EDO sea Lipschitziana en la segunda variable. El caso del teorema de existencia y unicidad local ocupa la misma idea de lo que vimos en clases y pueden verlo en el apunte.

Clase 21 (28/10)

Felipe Olmos 5 Nov 201005/11/10 a las 19:39 hrs.2010-11-05 19:39:05

En esta clase vimos la definición y propiedades de la matriz exponencial y como resulta ser una matriz fundamental de soluciones. También vimos como aplicar esto a la búsqueda de soluciones en el caso en que una matriz no es diagonalizable usando la descomposición de Jordan de ésta.

Les quedo debiendo el ejemplo completo acerca de esto último.

Materia Control 3

Felipe Olmos 28 Oct 201028/10/10 a las 21:53 hrs.2010-10-28 21:53:28

La materia que se controlará será
- Transformadas de Laplace: Propiedades y Resolución de Ecuaciones Diferenciales, Integro-Diferenciales y Sistemas de EDO's.
- Sistemas de EDO's : Resolución de Sistemas, matrices fundamentales de soluciones, matrices exponenciales y sus propiedades.

NO ENTRA: Delta de Dirac, Funciones Generalizadas y Resolución de Sistemas con Matrices no Diagonalizables (Jordan).

Nota: No es necesario que se aprendan todas las transformadas de Laplace, les daremos una tabla en el control.
Concéntrence en los métodos y propiedades.

Clase 20 (26/10)

Felipe Olmos 26 Oct 201026/10/10 a las 18:14 hrs.2010-10-26 18:14:26

Hoy vimos la estructura de las soluciones del sistema lineal de primer orden
x' = Ax + b
Concluimos que la solución general del sistema tiene la forma x = x_h + x_p , donde x_h es solución del sistema homogéneo asociado y x_p una solución particular. Además introdujimos el concepto de matriz de soluciones fundamentales que se anota
\Phi
Y demostramos que la solución general del sistema se escribe como
x = \underbrace{\Phi \mathbf{C}}_{\textrm{homog\'enea}} + \underbrace{\Phi \int \Phi^{-1} \,b \,dt}_{\textrm{particular}}
Donde C es un vector de constantes arbitrarias. Esta es la fórmula de variación de parámetros.

Respecto de lo que no terminé de demostrar, era bastante sencillo: Habíamos concluido que
z = v_1 \phi_1 + v_2 \phi_2 = \Phi \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 0
Por lo tanto en t = t_0 por la primera propiedad de la matriz fundamental de soluciones tenemos que
z(t_0) = \Phi(t_0) \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = I_2 \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 0
Y como la identidad es invertible se concluye que v_1 y v_2 son cero contradiciendo la hipótesis.
Les dejo propuesto que usando la invertibilidad de la matriz fundamental demuestren que los fi's son linealmente independientes (también está en el apunte).

Clase 19 (22/10)

Felipe Olmos 22 Oct 201022/10/10 a las 10:03 hrs.2010-10-22 10:03:22

Hoy empezamos a ver como resolver sistemas lineales mediante valores y vectores propios, aún nos queda ver el caso en que los valores propios son complejos. Vimos también ideas de como dibujar las soluciones (caso sistema de 2x2) lo cual nos servirá más adelante en sistemas no lineales y que relación hay entre los polinomios característicos de la EDO lineal y de la matriz del sistema asociado a la EDO.

Acá hay un applet para dibujar las soluciones (diagrama de fase), pongan la ecuación que vimos en esta clase y verán que el dibujo que hicimos no estaba tan lejos
www.math.rutgers.edu/ ... rod/phase-local.html

Clase 18 (19/10)

Felipe Olmos 19 Oct 201019/10/10 a las 20:49 hrs.2010-10-19 20:49:19

Hoy empezamos a ver lo relacionado con sistemas de ecuaciones diferenciales. Mencionamos que estudiaremos sistemas lineales de primer orden pues los sistemas de mayor orden son equivalentes, así como también son equivalentes un sistema lineal de primer orden con n ecuaciones y una ecuacion lineal de orden n. También hicimos un ejemplo de como resolver un sistema lineal de manera sencilla.

Clase 17 (14/10)

Felipe Olmos 15 Oct 201015/10/10 a las 12:20 hrs.2010-10-15 12:20:15

Hoy vimos lo que era la """función""" delta de Dirac derivándola como un límite de funciones con impulso unitario.

También calculamos transformada de Laplace y dedujimos que la delta debía ser el neutro de la convolución.
Formalizamos la delta de Dirac definiendola como función generalizada y dedujimos que la derivada en sentido generalizado de la acción de la Heaviside es justamente la delta de Dirac.

Finalmente demostramos que la solución de una EDO lineal con lado derecho una delta de Dirac nos entrega como solución una función W(t) ( función de transferencia) la cual sirve para encontrar soluciones particulares para cualquier lado derecho Q(t), de hecho y_p = Q * W. Con esto finalizamos el capítulo 4 del apunte.

Les quede debiendo un ejemplo de una función en T, el espacio de los argumentos de las funciones generalizadas
f = \left\{ \begin{array}{cc} e^{\frac{1}{x^2-1}} & - 1\leq x \leq 1 \\ 0 & \textrm{si no} \end{array} \right
Es claro que esta función sólo vale cero en un compacto ( el intervalo [-1, 1]). Verifiquen que es infinitamente derivable.

en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

Clase 16 (12/10)

Felipe Olmos 15 Oct 201015/10/10 a las 11:57 hrs.2010-10-15 11:57:15

Hoy vimos la convergencia uniforme de la transformada de Laplace, como se aplica para demostrar una fórmula para la derivada e integral de la transformada y como esto último se usa para encontrar fórmulas para términos que pueden aparecer en la descomposición en fracciones parciales que siempre hay que hacer para resolver una EDO vía transformada. También vimos lo que era la convolución de dos funciones y como
es su transformada. Finalmente vimos en forma general el método de resolución de EDOs lineales a coeficientes constantes por transformada de Laplace e identificamos una vez más las soluciones homogénea y particular.
Con esto terminamos la sección 4.2 y también la 4.3 del apunte

Les recomiendo que vean los diagramas y animaciones en este artículo para que tengan una intuición más clara de lo que es la convolución.
en.wikipedia.org/wiki/Convolution

Clase 15 (7/10)

Felipe Olmos 15 Oct 201015/10/10 a las 11:47 hrs.2010-10-15 11:47:15

En esta cátedra vimos varias propiedades de la transformada de Laplace, entre ellas, la transformada de la derivada e integral y como la primera se aplica para resolver EDO's. También vimos la tranformada de H(t-a)f(t-a) que resultaba en exp(-sa) F(s) y enunciamos el teorema de Lerch que nos permite aplicar la antitransformada tranquilamente. Cubrimos gran parte de la sección 4.2.

Les adjunto de nuevo los link de las prpiedades de la transformada
en.wikipedia.org/ ... perties_and_theorems
Les sugiero de ejercicio que demuestren alguna propiedad que no se haya mencionado en clase.