Clase 20 (26/10)

Felipe Olmos 26 Oct 201026/10/10 a las 18:14 hrs.2010-10-26 18:14:26

Hoy vimos la estructura de las soluciones del sistema lineal de primer orden
x' = Ax + b
Concluimos que la solución general del sistema tiene la forma x = x_h + x_p , donde x_h es solución del sistema homogéneo asociado y x_p una solución particular. Además introdujimos el concepto de matriz de soluciones fundamentales que se anota
\Phi
Y demostramos que la solución general del sistema se escribe como
x = \underbrace{\Phi \mathbf{C}}_{\textrm{homog\'enea}} + \underbrace{\Phi \int \Phi^{-1} \,b \,dt}_{\textrm{particular}}
Donde C es un vector de constantes arbitrarias. Esta es la fórmula de variación de parámetros.

Respecto de lo que no terminé de demostrar, era bastante sencillo: Habíamos concluido que
z = v_1 \phi_1 + v_2 \phi_2 = \Phi \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 0
Por lo tanto en t = t_0 por la primera propiedad de la matriz fundamental de soluciones tenemos que
z(t_0) = \Phi(t_0) \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = I_2 \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 0
Y como la identidad es invertible se concluye que v_1 y v_2 son cero contradiciendo la hipótesis.
Les dejo propuesto que usando la invertibilidad de la matriz fundamental demuestren que los fi's son linealmente independientes (también está en el apunte).
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Última Modificación 26 Oct 201026/10/10 a las 18:14 hrs.2010-10-26 18:14:26
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