Clase 23 (5/11)
Felipe Olmos 5 Nov 201005/11/10 a las 20:03 hrs.2010-11-05 20:03:05
Hoy empezamos a ver sistemas de primer orden no lineales. Definimos lo que era un punto crítico y empezamos a analizarlos cualitativamente (via diagramas de fase) en el caso de los sistemas lineales, los cuales posteriormente nos servirán para analizar el caso no lineal.
Si la matriz asociada al sistema (llamémosla A) es invertible entonces hay un uníco punto crítico: (0,0), de lo contrario los puntos críticos pueden ser una recta o el plano completo (casos degenerados).
Recordemos que el polinomio característico de un sistema de dos por dos está dado por:
Luego los valores propios estan dados por la fórmula
Los casos que vimos en la clase son cuando los valores propios de la matriz A asociada al sistema lineal en cuestión:
- Son reales distintos (tr(A)^2/4 > det(A)) y negativos (tr(A) < 0, det(A) > 0) : (0,0) es un nodo asintóticamente estable
- Son reales distintos (tr(A)^2/4 > det(A)) y positivos (tr(A) > 0, det(A) > 0): (0,0) es un nodo inestable
- Son iguales (tr(A)^2/4 = det(A)) y negativos (tr(A) < 0, det(A) > 0): (0,0) es un nodo asintóticamente estable (las trayectorias son rectas)
- Son iguales (tr(A)^2/4 > det(A)) y positivos (tr(A) > 0, det(A) > 0): (0,0) es un nodo asintóticamente inestable (las trayectorias son rectas)
La próxima clase veremos el resto de los casos.
Les reposteo el link con el applet que dibuja diagramas de fase
www.math.rutgers.edu/ ... rod/phase-local.html
Si la matriz asociada al sistema (llamémosla A) es invertible entonces hay un uníco punto crítico: (0,0), de lo contrario los puntos críticos pueden ser una recta o el plano completo (casos degenerados).
Recordemos que el polinomio característico de un sistema de dos por dos está dado por:
Luego los valores propios estan dados por la fórmula
Los casos que vimos en la clase son cuando los valores propios de la matriz A asociada al sistema lineal en cuestión:
- Son reales distintos (tr(A)^2/4 > det(A)) y negativos (tr(A) < 0, det(A) > 0) : (0,0) es un nodo asintóticamente estable
- Son reales distintos (tr(A)^2/4 > det(A)) y positivos (tr(A) > 0, det(A) > 0): (0,0) es un nodo inestable
- Son iguales (tr(A)^2/4 = det(A)) y negativos (tr(A) < 0, det(A) > 0): (0,0) es un nodo asintóticamente estable (las trayectorias son rectas)
- Son iguales (tr(A)^2/4 > det(A)) y positivos (tr(A) > 0, det(A) > 0): (0,0) es un nodo asintóticamente inestable (las trayectorias son rectas)
La próxima clase veremos el resto de los casos.
Les reposteo el link con el applet que dibuja diagramas de fase
www.math.rutgers.edu/ ... rod/phase-local.html
| Última Modificación | 5 Nov 201005/11/10 a las 20:05 hrs.2010-11-05 20:05:05 |
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