Clase 10 (21/9)

Felipe Olmos 21 Sep 201021/09/10 a las 18:15 hrs.2010-09-21 18:15:21

En esta clase vimos la forma general de la solución de la ecuación lineal homogénea de orden n. Para ello usamos varias propiedades de los operadores diferenciales lineales y del polinomio característico, junto con el hecho de que el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea es un espacio vectorial de dimensión n. Esto cubre la sección 3.4.1 del apunte.

Por completitud expondré el ejercicio del final de la clase el cual hice un poco apurado. La ecuación que se pedía resolver es
y'''' - 2y'''+3y''-4y'+2y = 0
Para ello primero encontramos las raíces del polinomio característico
\lambda^4 - 2 \lambda^3 + 3 \lambda^2 - 4\lambda + 2
Se puede chequear que 1 es raíz de este polinomio, por lo que realizamos la siguiente división
\begin{array}{cccccccc} \; & \lambda^4 &- 2 \lambda^3 &+ 3 \lambda^2 &- 4\lambda &+ 2 & : & \lambda - 1 = \lambda^3 - \lambda^2 + 2 \lambda - 2\\ (-) & \lambda^4 & \; - \lambda^3 &\; &\; &\; &\; &\; \\ \; & 0 & -\lambda^3 &\; + 3\lambda^2 &\; &\; &\; &\; \\ (-) & \; & -\lambda^3 &\; +\lambda^2 &\; &\; &\; &\; \\ \; & \; & 0 &\; +2\lambda^2 & -4 \lambda &\; &\; &\; \\ (-) & \; & \; &\; +2\lambda^2 & -2 \lambda &\; &\; &\; \\ \; & \; & \; &\; 0& -2\lambda &+ 2 &\; &\; \\ (-) & \; & \; &\; & -2\lambda &+ 2 &\; &\; \\ \; & \; & \; &\; & \;& 0 &\; &\; \\ \end{array}
Notemos que el polinomio que queda también tiene como raíz 1. Dividiendo nuevamente
\begin{array}{cccccc} \; & \lambda^3 &- \lambda^2 &+ 2 \lambda &- 2 & : \; \lambda -1 = \lambda^2 + 2\\ (-) & \lambda^3 &- \lambda^2 &\; &\; & \;\\ \; & \; & 0 & + 2 \lambda & - 2 & \;\\ (-) & \; & \;& + 2 \lambda & - 2 & \;\\ \; & \; & \;& \;& 0 & \;\\ \end{array}
Por lo que la factorización del polinomio es
p(\lambda) = (\lambda - 1)^2(\lambda^2 + 2) = (\lambda -1)^2(\lambda - \sqrt{2}i)(\lambda + \sqrt{2}i)
Luego, la solución general es
y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x} + C_3 \cos(\sqrt{2}x) + C_4 \sin(\sqrt{2}x)
Recuerden que las raíces complejas siempre vienen en pares conjugados, debido a que los polinomios que tratamos tienen coeficientes reales. Lo que vimos es que de acuerdo a su multiplicidad las raíces generan soluciones del tipo
x^k e^{\lambda x}

Si lambda es compleja, entonces su conjugado tambien estará luego en la solución habrá terminos del tipo
C x^k e^{\lambda x} + D x^k e^{\lambda'} x}
Donde lambda prima es el conjugado de lambda. Si escribimos lambda = alfa + i*beta tenemos que
C x^k e^{\lambda x} + D x^k e^{\lambda'} x} = C x^k e^{\alpha x + i \beta x} + D x^k e^{\alpha x - i \beta x} = x^k e^{\alpha x}(C e^{i \beta x} + De^{ - i \beta x})
Cuando vimos el caso de la ecuación homogénea de orden 2 concluimos que esto era equivalente a
x^k e^{\alpha x}(\tilde{C} \cos(\beta x) + \tilde{D}\sin(\beta x))
Y es por eso que salen senos y cosenos en el caso de lambda complejo.

Les dejo el link de como se demuestra la formula del determinante de Vandermonde que ocupé cuando calculamos un Wronskiano
www.proofwiki.org/ ... dermonde_Determinant
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Última Modificación 22 Sep 201022/09/10 a las 20:56 hrs.2010-09-22 20:56:22
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