Clase 6 (26/8)

Felipe Olmos 26 Ago 201026/08/10 a las 20:28 hrs.2010-08-26 20:28:26

Hoy vimos como modelar el vaciado de un tanque de agua ocupando la ley de Torricelli. También vimos como bajarle el grado a una ecuación de segundo orden cuando en esta no aparece la variable dependiente ( y ) y cuando no aparece la variable independiente (x). Esto último está en el apunte en la seccion 1.4. Demás está recordarles que HASTA HOY ENTRA EN EL CONTROL DEL PROXIMO MIERCOLES.

Veamos la EDO problemática (noten que es válida para x distinto de 0):
z' - \frac{3}{x} z = 0
Primero por factor integrante tenemos que:
\mu(x) = \textrm{exp} \left( \int - \frac{3}{x} \; dx \right) = \textrm{exp} \left( -3 \ln ( | x | ) \right) = \frac{1}{|x|^3}
Por lo tanto la solución homogénea (y general pues no hay lado derecho) es:
y = y_h = \frac{C}{\mu(x)} = C | x |^3
con C en IR. Esto es a lo que yo esperaba llegar. Sin embargo resolví la ecuación vía variables separables:
\frac{z'}{z} = \frac{3}{x}

luego integrando
\int \frac{z'}{z} \; dx = \int \frac{3}{x} \; dx \Rightarrow \int \frac{1}{z} \; dz = \int \frac{3}{x} \; dx \Rightarrow \ln ( | z | ) = 3 \ln ( | x | ) + D
Con D en IR

Tomando exponencial tenemos que
| z | = e^D | x | ^ 3 = E | x |^3
con E una constante positiva .
Lo que no les pude justificar es como sacarse el módulo del z. Resulto ser que esto era sencillo :), de lo anterior podemos concluir que:
z = \pm E | x |^3
El "+/-" se puede absorber en la constante que pasaría de ser positiva a ser real es decir
z = C | x |^3
con C en IR y llegamos a lo mismo que con el factor integrante.

En otro tema alguien me había preguntado como resolver la EDO:
y' = -\frac{xy}{y^4 - 3x^2}
Esto se hace haciendo el cambio de variables
y = z^\alpha
con alfa de forma que las funciones que quedan en el numerador y denominador tengan el mismo grado de homogeneidad.

Los links relevantes de hoy son:
en.wikipedia.org/wiki/Torricelli%27s_law
Compartir
Última Modificación 26 Ago 201026/08/10 a las 20:55 hrs.2010-08-26 20:55:26
Vistas Únicas 0
Comentarios