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Dadas las rectas que no se intersectan en ningún punto, y con $d_{1},d_{2}$ no paralelos, Encontrar la ecuación del plano que no intersecta a las rectas y que se encuentra a la misma distancia de ambas.

Respuesta:

Notemos primero que si $\Pi :$ es tal que y $d_{1}$ (resp. $d_{2}$ ) no se escribe como combinación lineal de , entonces no se intersectan, a menos que $L_{1}($ resp $L_{2}$ ) esté contenida en $\Pi$

La intuición detrás de esto es la generalización de lo que uno esperaría con 2 rectas en el plano. Estas se intersectan si tienen distintas pendientes (Es decir, distintos vectores directores). Este resultado es la generalización a $\U{211d} ^{3}$

En la figura se ve que L1 (cuyo vector director no es combinación de los del plano) intersecta a este, mientras que d2 (cuyo vector director es justamente una combinación de los del plano) no lo hace.

Demostración:

Notemos que es punto de intersección de la recta con el plano ssi para ciertos $\lambda ,s,t$

esto es equivalente a que para ciertos $\lambda ,s,t$ se tenga

esto último equivale a que el sistema

MATH Tiene solución (convencerse deque esto es cierto!)

Es probable que todavía no se haya visto, pero si una columna de la matriz se escribe como combinación lineal de las otras entonces la matriz no es invertible y el sistema es incompatible. De todas formas, lo importante es quedarse con la intuición geométrica.

Lo anteriormente discutido nos dice que si queremos encontrar un plano que no intersecte a ninguna de las 2 rectas, éste debe tener la ecuación

$\Pi :$ Para cierto Q.(Cualquier vector Q dará un plano que cumple la condición deseada)

Se tiene que el plano escrito recién es paralelo a L1,L2. (como los vectores directores del plano son combinaciones linleales de los de las rectas, entonces no se intersectan, a menos que la recta esté incluida en el plano. Esto es precisamente que el plano sea paralelo a las rectas)

Si llamamos

$\Pi _{1}:$

$\Pi _{2}:$

Corresponden a las ecuaciones de los planos paralelos a ambas rectas, pero donde está incluido en $\Pi _{1}$ y está incluido en $\Pi _{2}$ (para verificar estas inclusiones basta tomar t=0 en el primer plano y s=0 en el segundo. En el fondo lo que estamos haciendo es agregarle a cada recta una dirección más para moverse)

Esto lo muestra el siguiente dibujo, donde también se muestra un plano cualquiera uqe es paralelo a $\Pi _{1}$ Y $\Pi _{2}$

Vemos, en esta segunda imagen y por lo recién discutido que el problema se reduce a la determinación del punto Q (si Q está muy "arriba" la distancia entre el plano y la recta L1 será pequeña, y la distancia entre el plano y la recta L2 será grande. se debe equilbrar de alguna manera)

Para esto usaremos proyecciones

Tomemos el punto , que está en $\Pi _{1}.$ Proyectemos ese punto en el plano $\Pi _{2}.$ Llamemos $P\prime$ a dicha proyección El punto Q buscado será el punto medio entre y $P^{\prime }$

es decir . Aquel punto será equidistante de los 2 planos, y además por ortogonalidad se tiene que está a la mínima distancia entre ambos planos y ambas rectas. El dibujo puede clarificar.

Hay varias cosas que se deben notar antes de hacer el cálculo final. Acá tomamos cualquier punto P de $\Pi _{1}$ . Esto no es relevante. Si tomaramos otros, obtendríamos otro punto Q pero el resultado sería el mismo dado que uno puede elegir muchos vectores directores para un mismo plano (se podría formalizar esto de manera lgebraica pero sería un poco tedioso). Mejor quedarse con el dibujo. Lo importante es notar el concepto de ortogonalidad que juega un rol muy importante acá.