sea

(a)Para toda matriz y se tiene

(b)Para toda matriz y se tiene

Demostración: Se demostrará (a), (b) es totalmente análogo (traten de hacerlo)

Trivial. Basta multiplicar por la traspuesta de A a ambos lados de la ecuación

No tan trivial. Habrá que utilizar la propiedad vista en clases, que

Calculemos el producto Si resultara ser cero, por lo recién dicho se tendría que es decir,

porque estamos asumiendo que

Por lo dicho anteriormente se tiene la propiedad

Y ahora sobre el problema de ayer. Es el 1a de la guía. En realidad escaloné super mal la matriz así que ahora lo hago bien (ojo, pa escalonar empezar por la fila más cercana arriba posible. De lo contrario tendrán el problema que tuve yo. La demostración ahora la haré más directa. Simplemente se escalona la matriz, con a b c como "incógnitas" y se ver pasa en el caso a=b, b=c, c=a

´

No detallé las ponderaicones. Pero en el primer paso se reemplaza la segunda fila por la primera fila multiplicada por a restada con la segunda fila. En este paso también se elimina el elemento 3,1reemplazando la tercera fila por la primera multiplicada con a^2 y restada a la tercera fila. En el paso siguiente se reempaza la tercera fila por ela misma restada a la segunda multiplicada con (a+b). El resto es ordenar términos.

Ahí se ve clarito. si a=b queda un cero en el elemento 2,2 y se podría seguir escalonando pero ese cero segurá ahí. Si a=c o b=c queda un 0 en el elemento 3,3 y ahí también estamos fritos. Por lo tanto, si la matriz es invertible no se puede dar ninguno de esos casos (acordarse que invertibilidad equivale a que no aparezcan ceros en la diagonal de la matriz escalonada)