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Apuntes de Evaluación de Proyectos

X. Indicadores para Evaluación de Proyectos Riesgosos

11. CONSIDERACIÓN DEL RIESGO EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN
1- INTRODUCCIÓN
Diremos que un proyecto es riesgoso cuando una o varias variables del flujo de caja son aleatorias en vez de determinísticas. En estos casos no existirá certeza en los flujos de cada período. Y como los indicadores de evaluación de proyectos, por ejemplo el VPN y la TIR, se calculan a partir de estos flujos, entonces éstos serán también variables aleatorias. En este caso ya no sirve aplicar directamente el criterio básico que hemos utilizado hasta ahora: maximizar el VPN de los flujos relevantes. Ya que ahora este indicador es una variable aleatoria. Veamos dos conceptos de utilidad: incertidumbre y riesgo. ¿Qué es la incertidumbre? Existirá incertidumbre cuando las probabilidades de ocurrrencia de un evento no están cuantificadas. Las fuentes básicas de incertidumbre son es cuando la información es: Incompleta Inexacta Sesgada Falsa Contradictoria

¿Qué es riego? Hay riesgo si los eventos que sucederán en el futuro no son determinísticos, sino que existe un grado de incerteza (que en el caso extremo es cuando no poder decir nada) acerca de lo que sucederá. Este grado de incerteza es sólo parcial debido a la historia, la que nos permite conocer los resultados obtenidos anteriormente en alguna experiencia y nos sirve para estimar la probabilidad de que ocurra un evento específico sometido a iguales condiciones. Fuentes de Riesgo: Poco conocimiento de la industria Precios Demandas Gustos y modas Costos de insumos Tecnologías Uso de fuentes de información poco confiables Dinámica de los mercados Errores de interpretación de datos Errores en la manipulación de información

A continuación revisaremos los principales enfoques utilizados para incorporar el riesgo a la evaluación de proyectos de inversión.

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2. ANÁLISIS INDIVIDUAL DE UNA INVERSIÓN
Este enfoque consiste en evaluar la conveniencia cada alternativa de proyecto de inversión separadamente. Dentro de este enfoque existen diversos métodos para determinar la conveniencia de un proyecto: a) Análisis de Sensibilidad Primero se realiza la evaluación del proyecto en una situación base, tomando los valores esperados o medios de las variables aleatorias. Después se determinan las variables más significativas que afectan los indicadores de conveniencia del proyecto, entre ellos: - precio de venta - precios de insumos - costos de producción - costo de oportunidad del dinero - volúmenes de venta - coeficientes tecnológicos - inversión. Se busca sensibilizar los indicadores ante variaciones en las variables significativas más inciertas.

Item Situación Base Precio Venta* (1 - x%) Precio Insumos * (1 + y%) Ventas *(1 - z%) Costos Operación * (1 + W%) . . . . .

VAN(t1) VAN(t2)

TIR

Por ejemplo, se puede evaluar la situación base para el horizonte t1 del proyecto. Y evaluar precios de venta inferiores en un x% a los de la situación base, precio de uno o varios insumos importantes un y% más caros, ventas un z% inferiores, o costos de operación un w% más caros. Además, se puede evaluar el proyecto con un horizonte t2 < t1. Lo relevante es determinar cuáles son las variables críticas que hacen que el proyecto sea o no conveniente, y si para variaciones o errores de esos parámetros, el proyecto sigue siendo atractivo. Por ese motivo, también pueden ser consideradas variables como la inversión fija, el valor residual de ésta al momento de liquidación del proyecto, inversión en capital de trabajo, etc. Si el impacto de una variable riesgosa en el VPN es importante, entonces el proyecto es riesgoso. El nivel de riesgo se determina en la medida que el VPN se hace negativo para valores probables de la variable. En este caso, se debe hacer una evaluación costo-beneficio de la conveniencia de comprar certidumbre. Por ejemplo, seguros o precios futuros. Ventajas del método - Fácil aplicación - Fácil de entender Desventajas del métdodo - Sólo permite analizar variaciones de un parámetro a la vez. Página 2

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- No utiliza información como las distribuciones de probabilidad del parámetro a sensibilizar. - No entrega distribución de probabilidades de los indicadores de rentabilidad (VPN o TIR) b) Análisis de Escenarios Este método permite resolver el problema de la unidimensionalidad del análisis de sensibilidad. Esto se logra a través de definir escenarios para las distintas variables riesgosas que afectan la inversión. Cada escenario está determinado por los valores que supuestamente tomarían las variables riesgosas en éstos. Habitualmente se definen 3 escenarios: optimista, medio (también llamado escenario base o neutro) y pesimista Ejemplo de un escenario optimista: - precio del producto es un 20% superior al estimado en la situación base - precio de los insumos se mantienen - el volumen de producción y venta es un 10% al de la situación base. Es decir, un escenario es un cambio coherente en las variables riesgosas, ya que no todas las combinaciones de variables aleatorias son igualmente probables. La definición de los escenarios posibles debe ser realizada por la propia organización que está evaluando el proyecto o por expertos de ese sector industrial. Este método es levemente mejor que el de sensibilidad, pero mantiene la mayoría de las desventajas y sesgos del análisis anterior. c) Análisis probabilístico Consiste en calcular estimadores de tendencia central y de dispersión del VPN (variable aleatoria) de un proyecto de inversión a través de su función de distribución de probabilidades. c.1 Breve repaso de probabilidades. Si tenemos una variable aleatoria (v.a.) continua llamada X, con función distribución f(X), entonces su valor esperado o esperanza es:


E( X ) =

-

X
m

f ( X )dX

Con X variando en todo su espacio muestral. Si X es discreta entonces:

E ( X ) = X i P( X i )
n =1

Es importante recordar que el valor esperado es un operador lineal, es decir:

E (aX ± bY ) = aE ( X ) ± bE (Y )
Por otro lado, la varianza de X es:

V ( X ) = E (X - E( X ))

= E X 2 - 2 * X * E( X ) + E 2 ( X ) = E( X 2 ) - E 2 ( X )

[

[

2

]

]
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Apuntes de Evaluación de Proyectos La varianza no es un operador lineal, en efecto:

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V (aX ± bY ) = a 2V ( X ) + b 2V (Y ) ± 2 a b COV ( X , Y )
Donde:

COV ( X , Y ) = E [( X - E ( X ) )(Y - E (Y ) )]
La covarianza será no nula entre las v.a. cuando ellas tienen algún grado de correlación entre ellas. Se define el coeficiente de correlación entre X e Y como xy :

X ,Y =

COV ( X , Y ) , con X = V(X) y Y = V(Y) XY

¿Cuál es el criterio de decisión para este enfoque? Determinar si es conveniente o no hacer un proyecto riesgoso requiere de elementos algo más complejos que la evaluación de proyectos determinística. Como primer paso debemos conocer los conceptos de valor esperado y desviación estándar del VPN. c.2 VPN esperado Consideremos que tenemos una variable aleatoria X que está presente en todos los flujos, luego tendremos un flujo de caja aleatorio con un horizonte de n periodos Fo(X), F1(X), F2(X),...,Fn(X). A partir de ellos se puede obtener un VPN aleatorio VPN(X). Luego el VPN esperado será la esperanza de ese VPN aleatorio:

VPN ( X ) = F0 ( X ) +

Ft ( X ) t t =1 (1 + r )
n t =1

n

E (VPN ( X )) = E ( F0 ( X )) +

E ( Ft ( X )) (1 + r ) t

Un error que frecuentemente sucede es que se confunde el valor esperado de una función que depende de una v.a. (como por ejemplo el VPN) con la función evaluada en el valor esperado de la v.a., valores que en general serán distintos, es decir:

E (VPN ( X )) VPN ( E ( X ))
Serán iguales sólo en el caso particular en que la función VPN es lineal en la v.a. Siempre debemos recordar que lo relevante es E(VPN(X)) y no VPN(E(X)). Ya que este último nos puede llevar a decisiones equivocadas. c.3 Desviación estándar del VPN Hay tres caso posibles: i) Flujos de caja independientes:

COV ( Fi , F j ) = (Fi , F j ) = 0, i j

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Luego:
n Ft (VPN ) = F0 + t t =1 (1 + r ) 2

=

2 (Ft ) (1 + r ) 2t t =0
n

ii) Flujos de caja perfectamente correlacionados:

(Fi , F j ) =
Luego:

COV ( Fi , F j )

( Fi ) ( F j )

= 1, i, j

n Ft (VPN ) = (1 + r ) t t =0
2

=


i =0 j =0 n

n

n

(Fi ) (F j )
(1 + r ) i + j

n n (Ft ) (Ft ) = = (1 + r ) t t t = 0 (1 + r ) t =0 2

iii) Flujos de caja imperfectamente correlacionados:

n Ft (VPN ) = (1 + r ) t = t =0
2

n -1 n (F , F ) (F ) (F ) 2 (Ft ) i j i j + 2 (1 + r ) 2t i =0 j =i +1 (1 + r ) i + j t =0

c.4 Función de distribución de probabilidad del VPN y el Coeficiente de Variación. Teorema del Límite Central Si una variable aleatoria X puede ser expresada como la suma de n variables aleatorias independientes, entonces para un "n grande" la variable aleatoria X sigue aproximadamente una distribución normal.

f(VPN)

Distribución de Probabilidades

(VPN) VPN E(VPN)
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El VPN es en efecto una variable aleatoria que es igual a la suma (ponderada) de (n+1) variables aleatorias: los flujo de caja. Por lo que con las funciones de distribución de los flujos de caja podemos obtener el comportamiento probabilístico del VPN. La forma funcional de la distribución de probabilidad del VPN dependerá del número de flujos, de la distribución de cada uno y de la independencia que exista entre ellos. ¿Cuál es un mejor proyecto, A ó B?

f(VPN)

A

B

Distribución de probabilidades del VPN

A B

E(VPNA)

E(VPNB)

VPN [$]

A < B El proyecto B es más riesgoso E (VPN A ) < E (VPN B ) El proyecto B aporta mayor riqueza esperada
La decisión de que proyecto realizar depende del "comportamiento" del inversionista frente al riesgo: Neutro Amante Averso

¿Cómo conocer el comportamiento de un inversionista frente al riesgo? Ejemplo: Si nos ofrecen dos alternativas: i) ii) un ingreso I1 con probabilidad p y un ingreso I2 con probabilidad 1-p. un ingreso I0 con probabilidad 1. Con I0 = I1 p + I2 (1-p)

La elección entre las alternativas determina el comportamiento frente al riesgo:

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Apuntes de Evaluación de Proyectos El neutro al riesgo está indiferente entre ambas alternativas El amante del riesgo prefiere la primera alternativa El averso al riesgo prefiere la segunda alternativa.

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Supongamos que tenemos más proyectos que sólo A y B, y que para cada uno de ellos hemos calculado individualmente su valor esperado y su desviación estándar. Esto podríamos representarlo gráficamente en un plano E(VPN),(VPN):

(VPN) 6 (VPN6) (VPN1) (VPN4) (VPN2) (VPN3) (VPN5) E(VPN) E(VPN2) E(VPN1) E(VPN3) E(VPN5) E(VPN6) E(VPN4) 2 3 5 1 4

Una primera aproximación al problema de qué proyectos elegir es usar como indicador para la decisión al Coeficiente de Variación (CV), el que se define como:

CVi =

(VPN i ) E (VPN i )

Este coeficiente nos indica cuantas unidades de riesgo ($ del VPN) estamos tomando por cada unidad obtenida de VPN esperado. Luego, el criterio de decisión bajo este indicador es elegir los proyectos con menor CV.

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(VPN) 1 CV1 2 3 CV3 CV5 5 4

6

CV4=CV6

CV2

E(VPN)
En nuestro gráfico, el CVi está determinado por la pendiente de la recta que une al proyecto i con el origen: En el ejemplo, bajo el criterio de minimizar el CV, el orden de conveniencia de los proyectos debería ser: 5, 3, 4 ó 6 (indiferencia), 1 y 2. Lo que implícitamente hemos hecho, es suponer que los vectores que salen del origen son curvas de isoutilidad, tal que proyectos sobre la misma curva le son indiferentes al inversionista. En tanto que proyectos en curvas más horizontales, es decir, con menos pendiente, son más convenientes. c.5 Regla de Utilidad Esperada Este enfoque supone que aunque el aumento en el VPN de una persona u organización aumenta siempre su bienestar (suponiendo todo lo demás constante), éste no lo hace linealmente, sino que su aporte marginal es positivo pero decreciente. Además, con incertidumbre, maximizar el bienestar (lo relevante) no necesariamente equivalente a maximizar la riqueza.

Esto lo mostraremos con un ejemplo. Supongamos que un proyecto riesgoso tiene dos posibles resultados VPN1 y VPN2, cada uno con una probabilidad de ocurrencia de p y (1-p). Y que la función de utilidad del dueño del proyecto es U(VPN). Con:

U 2U > 0, 100% en X E(rx)