es anillo
P1
a)Completar(suponiendo que
es anillo
Completamos primero la tabla para la suma, notando que es un grupo abeliano y también notando que no pueden repetirse elementos ni en filas ni en columnas, ya que en tal caso existirían 2 inversos para un mismo número (imposible dada la asociatividad del grupo)
Resulta
ser la única completación posible dadas estas restricciones.
Acá vemos que el neutro aditivo es +. Este a resulta ser el elemento
absorbente para la multiplicación ya que
,
(Se hizo uso de la distributividad del producto y de la cancelabilidad de los
elementos con respecto a la operación suma).
Calculemos
La estrategia era expresar las operaciones desconocidas en términos de conocidas. Tenemos entonces.
De acá se desprende que b,c,d son todos divisores del 0.No es conmutatvo
pues
No tiene unidad porque para que hubiera se tendrían que tener una fila i-ésima (a,b,c,d) y una columna i-ésima (a,b,c,d) acá sól encontramos una fila (la tercera)
b)SI
es un anillo tal que
demuestre que
b1)
Sol:
b2)
es anillo conmutativo
Sol:
Pero
Luego
esto último por la propiedad antes demostrada
P2Considere en
la operaciones
y
a)Demuestre que
es anillo conmutativo con unidad
Demostremos primero
que
es grupo abeliano
i)
Luego es asociativa
Es fácil ver que el neutro es
y el inverso
de
es
Además
lo que muestra la conmutatividad(acá se usó el hecho de que
es grupo abeliano
Ahora falta ver
que
es una estructura algebraica conmutativa dotada de neutro
En efecto
Además es obvio que
es el neutro multiplicativo.
Por último veamos la distributividad.
La otra distributividad se prueba de manera análoga (en todas las
demostraciones se usaron propiedades de que
es cuerpo
b)Demuestre que
posee divisores del cero. Basta considerar
Siendo ambos no nulos.
c)Demuestre que
no es isomorfo a
Supongamos existiera tal isomorfismo.Como las 2 estructuras son anillos, el isomorfismo al que se refieren debe ser de anillos, ie una función biyectiva
con las siguientes propiedades
i)
ii)
Sean
es decir, los divisores del cero encontrados. Como f es un morfismo de grupos
sobreyectivo se tiene que
En efecto, Como f es sobreyectiva para cualquier
se tiene
para algún
En particular
Para cierto y.
Tenemos
Procediendo análogamente para el otro lado, se concluye que
Entonces usando
recién definidos tenemos
Pero
Ya que si alguno de ellos lo fuera, la función no sería
inyectiva.Tenemos entonces que
son divisores del 0
en
lo cual es ridículo porque un cuerpo no tiene divisores del 0
(y
es cuerpo). Se concluye que no existe tal isomorfismo, por lo tanto las 2
estructuras no son isomorfas.
P3) Sea
tal que
.
Demuestre que
es una raíz cúbica de la unidad
Solución "trabajosa" Sea
Por los datos del problema
Esto implica que
Como
Luego
(Si tomamos la raíz negativa da lo mismo, comprobarlo)
b)Sean
en
Demostrar que
Solución
Nota: se usó el hecho de que
c)Deduzca usando lo anterior que si
se tiene
Notemos que si se cumple la hipótesis
Lo que implica
Pero
Para que esto ocurra necesariamente alguno de los dos números complejos
debe tener norma mayor o igual a 1, lo que contradice la hipótesis.(Nota:
)
Por lo tanto
así que no hay problemas para dividir en la inecuación.Dividiendo
por
tenemos
Esto implica.
P4 Sea
tal que
y considere
Probar que
Demostración
Es claro que si un número es igual a su conjugado, entonces el
número es real(ya que esto sucede sólo si la parte imaginaria es 0).
Entonces demostraremos que el conjugado de
es él mismo
Para eso hay que saber algunas propiedades de la conjugación
De acá se deduce por inducción que
Además se tiene
Entonces:
Como vimos el conjugado es el mismo número, por lo tanto es un número real.