Institución Facultad de Ciencias Facultad de Ciencias
Disponible desde Segundo Semestre 2017
Cursos Asociados Otras realizaciones de este Curso
Objetivos Conocer técnicas matemáticas avanzadas para la resolución de problemas
físicos, típicamente modelados por ecuaciones diferenciales con derivadas
totales o parciales.
Expansión de soluciones en bases discretas y continuas, teoría de
distribuciones temperadas y métodos sistemáticos de búsqueda de
soluciones, proporcionando una base sólida para enfrentar problemas en
sistemas electromagnéticos, ópticos o cuánticos, entre otros.
Evaluación 4 pruebas de cátedra y 1 calificación de ayudantía, la que se
obtiene al promediar las tareas y controles aleatorios en ayudantía o
cátedra.

Requisitos de Aprobación: el promedio de las cinco calificaciones
anteriores, debe ser mayor o igual a 4,0 en la escala 1,0-7,0. Además, se
exigirá a lo menos un 80% de asistencia

Calendario de actividades
Prueba n°1, semana del 28 de agosto (1-4).
Prueba n°2, por definir (5-10).
Prueba n°3, por definir (11-17).
Prueba n°4, semana del 27 de noviembre (18-21).

Tareas y controles de ayudantía/cátedra aleatorios.
Comentarios Nombre del curso: Métodos de la Física Matemática II
Semestre Primavera - Verano
Área de Formación: Especializada
Modalidad: Presencial y Semestral
Carácter: Obligatorio
Carrera o Programa: Licenciatura en Ciencias con mención en Física
Profesor: Benjamín Toledo (btoledo@macul.ciencias.uchile.cl)
Ayudante: Diego Hidalgo (diego.salgado@ug.uchile.cl)
N° de créditos (SCT): 7
N° horas directas semanales: 4,5
Clases: 3,0
Laboratorios: 0,0
Ayudantías: 1,5

Requisitos: Programación y Métodos Numéricos Avanzado (FC 540-1),
Métodos de la Física Matemática I (FC 520)

Temáticas o Contenido del curso
1. Espacio de funciones 1 (16)
1.1. Definiciones
1.2. Sucesiones de funciones
1.3. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
1.4. Coeficientes de Fourier
1.5. Integrales impropias (valor principal)
1.6. Convergencia según Cesáro

2. Series de Fourier (15)

3. Transformada de Fourier (10)
3.1. Definiciones
3.2. Ejemplos
3.3. Propiedades
3.4. Aplicaciones

4. Convolución (6)
4.1. Espacio S
4.2. Producto de convolución
4.3. El espacio S como anillo

5. Distribuciones temperadas (26)
5.1. Definiciones
5.2. Sucesión de distribuciones
5.3. Producto de distribuciones
5.4. Distribuciones y ecuaciones diferenciales
5.5. Convergencia débil

6. Distribuciones y transformada de Fourier (8)

7. Convolución de distribuciones (7)
7.1. Definiciones
7.2. Propiedades de la convolución de distribuciones
7.3. Uso de convolución en Física
7.4. Función de Green de un operador diferencial

8. La función Gamma (10)
8.1. La función factorial
8.2. La función Gamma
8.3. Función Beta
8.4. Notación doble factorial
8.5. Fórmula de Stirling
8.6. Otras funciones relacionadas

9. Transformada de Laplace (10)
9.1. Definición
9.2. Inversión de la transformada de Laplace
9.3. Propiedades de la transformada de Laplace
9.4. Lista de transformadas de Laplace

10. Aplicaciones de la transformada de Laplace (8)
10.1. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
10.2. Ecuaciones integrales
10.3. Ecuaciones en derivadas parciales
10.4. Sistema de ecuaciones lineales

11. Polinomios ortogonales (3)
11.1. Definiciones
11.2. Teoremas
11.3. Relación de recurrencia

12. Polinomios de Hermite (5)
12.1. Definición
12.2. Función generatriz
12.3. Ortogonalidad
12.4. Algunos resultados interesantes
12.5. Solución por serie de la ecuación de Hermite

13. Polinomios de Laguerre (5)
13.1. Definición
13.2. Función generatriz
13.3. Relaciones de recurrencia
13.4. Ecuación de Laguerre
13.5. Ortogonalidad
13.6. Polinomios asociados de Laguerre

14. El problema de Sturm-Liouville (5)
14.1. Operadores diferenciales autoadjuntos
14.2. Operadores autohermíticos
14.3. Problema de autovalores
14.4. Ejemplos de funciones ortogonales

15. Ecuaciones diferenciales con singularidades (9)
15.1. Puntos singulares
15.2. Solución por serie: método de Frobenius
15.3. Limitaciones del método. Teorema de Fuchs
15.4. Una segunda solución

16. Ecuaciones diferenciales del tipo... (21)
16.1. Soluciones en puntos regulares
16.2. Soluciones en la vecindad de puntos singulares
16.3. Singularidades en infinito
16.4. Ejemplos
16.5. Ecuaciones con n ≤ 3 singularidades Fuchsianas

17. Funciones hipergeométricas (8)
17.1. La ecuación hipergeométrica general
17.2. Ecuación indicial
17.3. Ecuación diferencial de Gauss
17.4. La serie hipergeométrica
17.5. Ecuación hipergeométrica confluente

18. Polinomios de Legendre (22)
18.1. Función generatriz
18.2. Relaciones de recurrencia
18.3. Coeficientes del polinomio Pn(x)
18.4. Fórmula de Rodrigues
18.5. Ecuación diferencial de Legendre
18.6. Lugares nulos de Pn(x)
18.7. Relación de ortogonalidad
18.8. Expresiones integrales para Pn(x)
18.9. Serie de Legendre
18.10.Funciones asociadas de Legendre
18.11.Problema de Sturm-Liouville asociado
18.12.Armónicos esféricos
18.13.Segunda solución de la ecuación de Legendre

19. La ecuación diferencial de Bessel (12)
19.1. La ecuación diferencial de Bessel
19.2. Funciones de Bessel de índice no entero
19.3. Funciones de Bessel de índice entero
19.4. Comportamiento asintótico
19.5. Función generatriz
19.6. Fórmulas de adición
19.7. Representaciones integrales
19.8. Relaciones de recurrencia
19.9. Relaciones de ortogonalidad
19.10.Problema de Sturm-Liouville asociado

20. Diversos tipos de funciones cilíndricas (5)
20.1. Segunda solución de la ecuación de Bessel
20.2. Funciones de Hankel

21. Aplicaciones (22)
21.1. Coordenadas rectangulares
21.2. Coordenadas polares, dos dimensiones
21.3. Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas
21.4. Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas
21.5. Otras aplicaciones
21.6. Ecuación de difusión
21.7. Difusión con creación de partículas

Bibliografía Obligatoria
V. Muñoz, J. Rogan, Apuntes de un curso de MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA II

Bibliografía Complementaria:
G. Arfken, H. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th ed., Academic Press, 1995.
Además, en los apuntes del cursos se indica bibliografía complementaria.
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