%% prog sistemas de ecuaciones
clearvars;
close all;
clc;

%consideremos un simple sistema de ecuaciones lineales de dos incognitas

%A*x + B*y = C  /
%D*x + E*y = F /
%--------------

%podemos reformular el sistema considerando nombres distintos para los 
%coeficientes y variables
%A = a11
%B = a12    ------->   A = [a11 a12]  es decir que teneos una matriz de (2X2)
%D = a21    ------->       [a21 a22]
%E = a22

%x = x11    ------->   x = [x11]     es decir un vector columna de (2X1)   
%y = x21    ------->       [x21]

%C = b11    ------->   b = [b11]     es decir un vector columna de (2X1)   
%F = b21    ------->       [b21]

%el sistema de ecuaciones es rescrito como  A*x = b

%[a11 a12] * [x11] = [b11]  
%[a21 a22]   [x21]   [b21]

%al desarrollar la multiplicacion de matrices y considerando las equivalencias
%a11*x11 + a12*x21 = b11   -------> A*x + B*y = C  
%a21*x11 + a22*x21 = b21   -------> D*x + E*y = F

%la resolución generica de los sistemas de ecuaciones lineales es
%primero definir la matriz A
%segundo definir el vector columna b
%tercero resolver x = inv(A)*B

%% ejemplo 1  A1*x1 = b1 <-----> inv(A1)*A1*x1 = inv(A1)*b1 <-----> x1 = inv(A1)*b1
A1 = [1,2; -2,8];
b1 = [3;5];
x1 = inv(A1)*b1;
d1 = det(A1); %calcula determinante

%% ejemplo 2 la matriz A2 es singular es decir su determinante es nulo
%este sistema de ecuaciones no tiene solucion
A2 = [1,2; -2,-4];
b2 = [5;9];
x2 = inv(A2)*b2;
d2 = det(A2); %calcula determinante


%% ejemplo 3 la matriz A3 es singular es decir su determinante es nulo
%este sistema de ecuaciones no tiene infinitas soluciones
A3 = [1,2; 2,4];
b3 = [4;8];
x3 = inv(A3)*b3;
d3 = det(A3); %calcula determinante


%los ejemplos 2 y 3 son situaciones donde el sistema de ecuaciones 
%es mal planteado y la solucion es inconsistente

%% ejemplo 4 la matriz A4 es es una matriz mal condicionada
%esto causa problemas numericos en el computador, si ustedes resuelven
%de manera analitica (papel y lapiz) llegan a resultados consistentes
%pero el computador no
A4 = [1,2,3,4; 2,3,4,5; 3,4,5,6; 4,5,6,7];
b4 = [1;2;3;4];
x4 = inv(A4)*b4;
d4 = det(A4); %calcula determinante


%% ejemplo 5 la matriz A5 es casi singular es decir su determinante es casi nulo
%este sistema de ecuaciones casi no tiene solucion o su solucion no tiene sentido
%este es un sistema mal condicionado
%uno de los motivos esta asociado al ruido aleatoreo que contamina los datos experimentales 
A5 = [1,1.99999; -2,-4.0001];
b5 = [5;9];
x5 = inv(A5)*b5;
d5 = det(A5); %calcula determinante